高等数学第七版上册答案详解-大学教材课后答案网

[大] [中] [小] 发布人：考试题库网发布日期：2021-07-12 共1653人浏览过

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第1章函数与极限

1.1 复习笔记

一、映射与函数

1函数

（1）函数的性质（见表1-1）

表1-1 函数的性质

（2）反函数与复合函数

①反函数的特点

a．函数f和反函数f^－¹的单调性一致。

b．f的图像和f^－¹的图像关于直线y＝x对称。

②复合函数

g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。

（3）函数的运算

设函数f（x），g（x）的定义域为D_f，D_g，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算

和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。

积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。

商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。

（4）初等函数

5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

二、数列的极限

1数列极限的定义

数列{x_n}收敛于a⇔⇔∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有|x_n－a|＜ε。

数列{x_n}是发散⇔不存在。

2收敛数列的性质

（1）唯一性

如果数列{x_n}收敛，则它的极限唯一。

（2）有界性

如果数列{x_n}收敛，则数列{x_n}一定有界。

①有界数列：存在正数M，使得对于一切x_n都满足不等式|x_n|≤M。

②无界数列：不存在正数M，使得对于一切x_n都满足不等式|x_n|≤M。

（3）保号性

如果，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有x_n＞0（或x_n＜0）。

推论：如果数列{x_n}从某项起有x_n≥0（或x_n≤0）且，则a≥0（或a≤0）。

（4）收敛数列与其子数列间的关系

①如果数列{x_n}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

②如果数列{x_n}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{x_n}是发散的。

③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

三、函数的极限

1函数极限的定义

（1）函数f（x）极限的两种情形

①自变量x趋于有限值x₀时函数的极限

只有及都存在并且相等时，x→x₀时极限存在。

②自变量x趋于无穷大时函数的极限

⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。

2函数极限的性质

（1）唯一性

如果存在，则这极限唯一。

（2）局部有界性

如果，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有|f（x）|≤M。

（3）局部保号性

①如果，且A＞0（或A＜0），则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。

②如果，则存在着x₀的某一去心邻域U°（x₀），当x∈U°（x₀）时，有|f（x）|＞|A|/2。

③如果在x₀的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且，则A≥0（或A≤0）。

（4）函数极限与数列极限的关系

如果极限存在，{x_n}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足：x_n≠x₀（n∈N_＋），则相应的函数值数列{f（x_n）}必收敛，且。

四、无穷小与无穷大

1无穷小

若，称f（x）是x→x₀时的无穷小量。

2无穷大

（1）定义

若，称f（x）是x→x₀时的无穷大量。

（2）渐近线

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