[大] [中] [小] 发布人：考试题库网发布日期：2021-11-18 共24人浏览过

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第七版同济大学高等数学课后答案_大学教材课后答案网

设下面所考虑的函数都是定义在区间( -1,1)上的。证明:(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数;
( 2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
证:( 1 )设f(x ) ,f2 ( x )均为偶函数，则fg ( - x ) =f (x ),f ( - x ) =f ( x )。令F (x ) = f(x ) + f2( x )，于是F ( -x ) =fi ( - x )+fy ( - x ) =f ( x ) +f( x ) =F ( x )，故F ( x )为偶函数。
设g ( x ) ，g2( x )均为奇函数，则g ( - x ) = -g1(x ) ，g2( -x ) = - g2 ( x )，令G ( x ) =g1( x ) +g2 (x )，于是G ( -x)=g1( - x ) + g2( - x ) = -g1( x ) -g2(x )= -G( x )，故G ( x )为奇函数。
( 2）设f ( x ) ,f ( x )均为偶函数，则f( -x ) =f( x ) ，f ( -x ) =f2 (x )，令F ( x ) =f( x ) f2( x )，于是F ( -x ) = f1 ( -x ) f2 ( - x ) =f ( x ) f2 ( x ) =F (x )，故F ( x )为偶函数。
设g1 ( x ) ，g2 ( x )均为奇函数，则g1 ( - x ) = -g1(x ) ,g2( - x ) = -g2 ( x )，令G ( x ) =g1(x ) ·g2( x )，于是G ( -x ) =g1( -x ) g2 ( -x ) =[ -g1(x ) ][ - g2(x ) ]=g1( x ) g2( x ) =G ( x ) ，
故G ( x )为偶函数。

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