逻辑主义的名词解释

逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学的原理》中已有大概的轮廓，罗素后来与怀特黑德合著的三大卷《数学原理》，是逻辑主义的权威性概述。按照罗素的观点“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来——数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推出。至于逻辑的展开，则是依靠公理化的方法进行，即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系。为了避免逻辑悖论，罗素创造了一套“类型论”。类型论将对象区分为不同的层次（类型），处在最低层的是0类型的对象，属0型的类构成1型类的对象，……如此等等。在应用类型的理论中，必须始终贯彻如下的原则名词解释：
一定类的所有元素必须属于同一类型，类相对于其自身成员是高一级类型的对象。这样，集合本身就不能是它自己的成员，类型论避免了集合论悖论的产生。

罗素还进一步论述了关于命题函数的分支类型论，并引进了重要的“约化公理”，约化公理对任何层次的一个命题都确认存在着一个等价的0型命题函数。逻辑主义在将数学奠基于逻辑方面的巨大努力被许多数学家赞许并接受，但也遭到了严厉的批评。约化公理被指出是非逻辑公理而不符合将数学化归为逻辑的初衷，按照类型论建立数学开展起来极为复杂。事实上，罗素和怀特黑德的体系一直是未完成的，在很多细节上是不清楚的。尽管如此，逻辑主义以纯粹符号的形式实现逻辑的彻底公理化，特别是罗素、怀特黑德《数学原理》第二、三卷提出的“关系算术理论”，建立了完整的命题演算与谓词演算系统，这一切构成了对现代数理逻辑的重大贡献。

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